数列极限的定义

爱疯

"所以，要使|an-1|<1/100，只要n>100就行了。"
为什么n>100就行了呢？




由于 |an-1|=|(-1)^n/n|=1/n
当给定正数1/100，
难道说要使 |an-1|<1/（1/100）成立，只要n>100？


那我就比如让n=101，代入以上不等式
|101-1|<100
100<100
这。。。。不是错的吗？
当然，肯定是我说了，但不知我是哪儿？谢谢

爱疯

上面代错了，应该这么代
|1/101-1|<100
100/101<100
虽然不等式依然成立，但还是怀疑自己做的对不对。

老司机带带我

大哥，请问您是干啥的？

爱疯

老司机带带我 发表于 2016-12-20 08:52
大哥，请问您是干啥的？

数据极限的定义，觉得有点点理解了。
但读到这例子的这里时，明明感觉不难，却不理解。。。。很心塞

{:191:}

爱疯

例如 an=1+(-1)^n/n (n=1,2,3,...)
不精确的阐述就是“当n无限趋大时，an跟常数1无限接近”
怎样才会“an跟常数1无限接近”呢？就是要|an-1|可以任意小，也就是可以小于预先任意给定的、无论怎样小的正数；
怎样才会“n无限趋大”呢？就是要n充分大，大到足以保证|an-1|小于预先给定的、无论怎样小的正数。
但是，如何精确刻画呢？


由于 |an-1|=|(-1)^n/n|=1/n
比如，给定正数1/100，要使|an-1|<1/100，只要n>100就行了。
比如，给定正数1/10000，要使|an-1|<1/10000，只要n>10000就行了。
同理，预先任意给定的、无论怎样小的正数ε，要使|an-1|<ε，只要n>1/ε就行了。
总能找到一个大于或等于1/ε的正整数N，即N>=1/ε。
使当只要n>N时的一切an，即an+1,an+2,an+3,...都满足不等式 |an-1|<ε
小结：借助正整数ε和根据ε而确定的正整数N（也就是1/ε），来量化an和A“无限接近”的关系。



如何证明，红色的句子是正确的？谢谢！

上清宫主

an=1+(-1)^n/n (n=1,2,3,...)
“当n无限趋大时，an跟常数1无限接近”

只须证明“当n无限趋大时，(-1)^n/n (n=1,2,3,...)跟常数0无限接近”  即可，不是吗？

这不是显然的事吗？
别被带进沟里去了哟

爱疯

上清宫主 发表于 2016-12-20 09:54
an=1+(-1)^n/n (n=1,2,3,...)
“当n无限趋大时，an跟常数1无限接近”

书上引导的解决思路，我的理解是：
因为绝对值专用来表达距离，所以通过证明绝对值里的值足够小，就可看作“无限接近”。
而这个小，又是事先指定的一个明确的数值，从而能够精确表示“无限趋大”。

但就是不知咋理解“比如，要使|an-1|<1/100，只要n>100就行了...”的意思

alexloco

楼主在学习高等数学吗？这是极限思想，无限接近a，最终所表现的还是不等于a.
在这里涉及到一些概念，比如收敛等等。
|an-1| 就是1/n，而要|an-1|<1/100，实际上就是1/n<1/100,也就是n>100

an = 1+(-1)^n/n
an-1 = (-1)^n/n
|an-1| = 1/n

我这么写不知道楼主是否明白。
我也是很久没有看高等数学了，最近也在看。

爱疯

alexloco 发表于 2016-12-20 13:34
楼主在学习高等数学吗？这是极限思想，无限接近a，最终所表现的还是不等于a.
在这里涉及到一些概念，比如 ...

谢谢alexloco！

|an-1| 就是1/n，而要|an-1|<1/100，实际上就是1/n<1/100,也就是n>100
这么说，能理解。
相当于解不等式 1/n<1/100，从而得出 n>100。





之前，试想着将n的值代进这表达式  ...
那样，不能代表什么，毫无意义。

爱疯

不等式右边是任意一个很小的数，和通项无关。
和左边的n不是一个含义，所以将n代入不等式中，毫无意义。